הדיאלקטיקה של המתימטיקה

ה-7 לנובמבר 2023 , יום השנה ה- 106 למהפכת אוקטובר הסוציאליסטית הגדולה

( המהפכה פרצה ב-25 לאוקטובר 1917 לפי הלוח היוליאני שהיה נהוג אז ברוסיה , 7 לנובמבר לפי הלוח הגרגוריאני )

מאה שנה למהפכה הבולשביקית – מדינת הפועלים הראשונה בהיסטוריה האנושית

ה-7 לנובמבר 1917 (25 לאוקטובר לפי הלוח היוליאני ) לפני מאה שנה , מציין את האירוע החשוב ביותר של המאה העשרים - המהפכה הבולשביקית . מעמד הפועלים הרוסי ,בהנהגת קומוניסטים מהפכנים מהמפלגה הבולשביקית ובראשם ולדימיר לנין , שחרר ששית מכדור הארץ מכבלי הקפיטליזם.

העולם השתנה לעד , השליטים הפכו לנשלטים . המנצלים למיניהם בכל העולם החלו לרעוד ולשקשק מפחד.

המניפסט הקומוניסטי של קרל מרקס ופרידריך אנגלס (1848) תאר בפני הפועלים מדוע הם סובלים מדיכוי והורה להם כיצד עליהם לפעול בנידון. המניפסט הצהיר שפועלים המשתתפים במהפכה יכולים רק "לאבד את כבליהם" . שבעים שנה מאוחר יותר המהפכה הבולשביקית הוכיחה שאת כבלי הדיכוי והניצול ניתן לקרוע לחלוטין .

המפלגה הקומוניסטית הייתה גורם מכריע . מנהיגה , ולדימיר לנין , הצליח להשריש בה את העיקרון של מחויבות מלאה למהפכה ולא לפשרות . תחת הנהגת המפלגה פועלי רוסיה שמו להם למטרה את תפיסת השלטון במדינה והחלפתו בדיקטטורה של הפרולטריון . שיטת הרווחים – הדיקטטורה של בעלי ההון הושמדה.

היו כאלה , נקראו "שמאלנים" לכאורה , שהטיפו נגד המהפכה בטענה שאפשר לבצע רפורמה בשיטה הקפיטליסטית כדי שהיא תוכל לשרת בצורה טובה יותר את הפועלים . לנין והבולשביקים דחו טענות אלה על הסף . היה להם אמון מלא בפועלים! .הקומוניסטים והפועלים ,ידעו מניסיון קודם שבחירות והפגנות לא יכולים להביא לשום שינוי בסדר החברתי הקיים .

בעלי ההון והבוסים ברחבי העולם פתחו מיד במתקפה נגדית . השאריות שנותרו משליטי רוסיה ותומכיהם יחד עם מאות אלפים של כוחות זרים מ-14 מדינות כולל ארה"ב פלשו לרוסיה במטרה " לחנוק את התינוק הבולשביקי בעריסתו" (וינסטון צ'רצ'יל).

המאבק נגד מהפכת הנגד לקח יותר זמן מאשר תפיסת השלטון עצמו . בתמיכת רוב הפועלים והאיכרים הרוסים ,הצבא האדום ,בשלבי התהוותו , ניצח את הכוחות הפולשים שחייליו , מרביתם פועלים , לחמו ללא מוטיבציה. בו בזמן פועלים ברחבי העולם הביעו את תמיכתם והזדהותם עם מהפכת הפועלים הקומוניסטית הראשונה בהיסטוריה האנושית.

תוך זמן קצר החיילים האמריקאים סרבו להילחם ונשלחו הביתה בעוד פועלים רבים בארה"ב הביעו ,בדרכים שונות , את תמיכתם במהפכה הרוסית .

1. הבורגנות הרוסית הייתה חלשה ובלתי מאורגנת . הקפיטליסטים תפסו את השלטון ברוסיה שמונה חודשים קודם (פברואר 1917) ופועלי רוסיה לא ראו כל הבדל בין שלטון הקפיטליסטים לשלטון הצאר.

2. למעמד הפועלים הרוסי הייתה מסורת של מהפכות . התקוממויות קודמות היו ב-1905 ובפברואר 1917 .עשרות אלפי פועלים השתתפו במאבקים אלה במקרים רבים תחת הנהגת הבולשביקים . בנובמבר 1917 הבולשביקים היכו שורש באזורי מפתח כמו הערים הגדולות ,ובארגונים כמו הצבא והצי .

3. הבולשביקים הבינו שהם יכולים להפוך את "המלחמה האימפריאליסטית למלחמת מעמדות" . הבוסים הרוסים היו עסוקים במלחמה בשדות הקרב של אירופה והותירו את הזירה הרוסית הפנימית חשופה למתקפה.

4. הבולשביקים בנו ברית פועלים ואיכרים . הם הורו לאיכרים לתפוס את האדמות מבעלי הקרקעות .זה הביא לכך שכל האיכרים והפועלים החקלאיים הצטרפו לשורות המהפכה וקבלו על עצמם את מרות ההנהגה המהפכנית .

5. רוב הפועלים והאיכרים תמכו בעיקרון המפתח של מאבק מזוין ואלימות מהפכנית , בהיעדר עיקרון זה לא ניתן להביא מהפכה לידי הצלחה..

6. מעמד הפועלים הרוסי נהנה מההנהגה המהפכנית של לנין והבולשביקים . הם היו בלתי שבירים בעיתות מאבק . היו להם קשרים עמוקים עם חלקים נרחבים של מעמד הפועלים. ומאחוריהם מאבק ממושך (כ- 20 שנה ) של קמפיין לחינוך פוליטי שבמהלכו הביסו קבוצות שונות של פסבדו – מהפכנים למיניהם.

הייצור בברית המועצות היה למטרות צריכה ולא למטרות רווח . בשנות ה-30 של המאה ה-20 כאשר כאשר כלכלת העולם הקפיטליסטי שקעה בשפל (THE GREAT DEPRESSION) ברית המועצות הייתה עסוקה בבניית חברה חדשה ללא אבטלה וללא רעב. ברה"מ יצרה ,בתקופה די קצרה, רמת חיים סבירה והוגנת עבור הפועל הסובייטי.

ברה"מ נאבקה נגד הגזענות והסקסיזם , היטיב לתאר זאת הזמר והשחקן האפרו אמריקאי הנודע , פול רובסון , שהרבה לבקר בברית המועצות. " הרגשתי כבן אדם בפעם הראשונה מאז ילדותי" .

ב-1941 בעלי ההון ניסו שוב לחסל את הישגי המהפכה הבושלביקית . היטלר , השתמש בכל האמצעים האפשריים ובמכונת הצבא האדירה בהיסטוריה שעמדה לרשותו , ופלש לברית המועצות. הצהרתו ,שחיילי הורמכט יצעדו ברחובות מוסקבה הכבושה תוך 6 שבועות ,צללה עד מהרה כעופרת במים אדירים. הישג אדיר זה , ניצחון הצבא האדום על הורמכט הנאצי , הושג תחת הנהגתו של יוסף סטאלין . אין פלא איפוא שעד עצם היום הזה (64 שנים לאחר מותו) מושמץ סטאלין ,בכל הזדמנות ,על ידי העולם הקפיטליסטי. עתה, משנפתחו הארכיונים של ברית המועצות לשעבר והארכיון של טרוצקי אנו יכולים לראות שכל ההאשמות ,של קפיטליסטים למיניהם ו/או "היסטוריונים" טרוצקיסטים בדבר פשעים שבוצעו על ידי סטאלין , אינם אלא מסכת שקרים אחת גדולה.

הבולשביקים היו חלוצים – הם היו הראשונים שניסו לבנות סוציאליזם וקומוניזם . זה היה בלתי נמנע שהם יעשו שגיאות ויסבלו מהרבה חולשות פוליטיות שהובילו ,בסופו של דבר , את ברית המועצות חזרה לקפיטליזם .

בימינו , שום מדינה אינה נמצאת תחת הנהגה קומוניסטית מהפכנית , זו תופעה זמנית ,נסיגה היסטורית . אנו יודעים ש- "לכל לילה שחור יש סוף". ניצול וחוסר אנושיות הם תכונות יסוד של הקפיטליזם ובסופו של יום יובילו את פועלי העולם למאבק שמטרתו הסופית מיגור שיטת הרווחים המקסימליים והקמת חברה שיוויונית שבה הייצור יהיה למטרות צריכה ולא למטרות רווח.

החזרה לקפיטליזם בברית המועצות מלמדת שיש להיאבק ללא פשרות ברוויזיוניזם – רעיונות קפיטליסטים בלבוש מרקסיסטי . יש ללמוד מההישגים החיוביים של ברית המועצות ובו בזמן מהטעויות הרות האסון שהביאו לחזרת הקפיטליזם .

רפורמיזם , גזענות , לאומנות וכל הצורות של וויתורים לקפיטליזם הנחילו תבוסה למעמד הפועלים . יש לבנות תנועה כלל עולמית המונית של פועלים , סטודנטים וחיילים שתהפוך את כל המלחמות האימפריאליסטיות של תקופה זו למהפכה קומוניסטית בינלאומית .

במשך שנים רבות , בפרט אחרי קריסת ברית המועצות והדמוקרטיות העממיות של מזרח אירופה בתחילת שנות ה-90 של המאה הקודמת , אני שומע את השאלה : "כיצד אתה עדיין דוגל ברעיון הקומוניסטי - הרי הקומוניזם נכשל ? "

אשתדל לענות על שאלה זו בצורה מתומצתת כפי שאני מבין את פני הדברים.

לדעתי הויכוח בדבר פשיטת הרגל של השיטה הקפיטליסטית הגיע אל קיצו מזמן . מלחמה מתמדת (סכנת מלחמה גרעינית), טרור, עוני, גזענות ,סקסיזם ,ניצול מחפיר , חינוך ירוד , פאשיזם , דיכוי , נישול , רדיפות על בסיס לאומי , רדיפות על בסיס דתי , השמדת עם ( GENOCIDE ) , הידרדרות במצב איכות הסביבה וזיהומה , דלדול מקורות האנרגיה של היקום ועוד תופעות שקצרה הרשימה מלהכיל , כולן תוצר ישיר של השיטה הקפיטליסטית שאינה מסוגלת לשרוד בלעדיהן ואשר מטרת קיומן העיקרי - הגדלת רווחיהם של בעלי ההון השולטים הלכה למעשה בעולם כולו .

אלברט איינשטיין אמר פעם שאינו יודע באיזה נשק ישתמשו במלחמת העולם השלישית אך הוא בטוח שבמלחמת העולם הרביעית ישתמשו במקלות ואבנים. אחרי הקפיטליזם יש שתי אפשרויות - פאשיזם או קומוניזם . כמי שאוהב את החברה האנושית ורוצה בהמשכיותה ובשגשוגה כדי להבטיח את עתיד צאצאינו בחרתי בקומוניזם .

המפלגה הקומוניסטית של ברית המועצות לשעבר ומפלגות הלווין במזרח אירופה דגלו בשיטת - שני השלבים קרי , קודם סוציאליזם ורק לאחר התבססותו מעבר לשלב הקומוניזם. ביישום שיטה זו הושארו על כנם יותר מדי מאפיינים של החברה הקפיטליסטית כגון שיטת השכר המדורג , חלוקת העבודה , הדרגות בצבא טיפוח הלאומיות וכו... לזכותם של קברניטי המפלגה הקומוניסטית הראשונה שהגיעה לשלטון יאמר שלא היה להם את הניסיון והידע העומד לרשותינו כיום קרי-הניסיון של ברה"מ , הם סברו שעם תום שלב הסוציאליזם ניתן יהיה לבטל מאפיינים אלה כדי להגיע לחברה קומוניסטית . מה שהם לא ידעו אז ואנו יודעים כיום , זה שצעדים אלה החזירו אותם אחורה אל השיטה הקפיטליסטית שהתקיימה הלכה למעשה בגוש מדינות זה החל מאמצע שנות החמישים וקיבל גושפנקה רשמית בתחילת שנות ה-90 של המאה הקודמת .

כדי להגיע לחברה קומוניסטית יש לבנות מפלגה המונית המאגדת בתוכה מאות מיליוני פועלים ברחבי העולם ולא תאים של אליתות . האירגון הקומוניסטי של החברה האנושית דורש פעילות אקטיבית והתחייבות של המוני פועלים המבינים מהו קומוניזם, מסכימים עימו , מוכנים להיאבק למענו ולהתחייב להצלחתו.

קומוניזם משמעותו - ביטול המושג לאום (לאומנות ולאומיות) , מעמד פועלים אחד , מפלגה אחת , עולם אחד , ביטול הגזענות דרך בניית אחדות רב גזעית ו - אינטרנציונליזם. קומוניזם משמעותו - ביטול הסקסיזם (שימוש במיניות האדם למטרות רווח כלכלי) כמו גם ביטול השוביניזם הגברי . קומוניזם משמעותו שיתופיות (קולקטיביזם) , חברה ללא כסף ושכר - בני אדם עובדים יחדו על בסיס התחייבותם האחד לשני ולבניית חברה קומוניסטית .

קומוניזם משמעותו - פועלים מנהיגים את כל שטחי החיים של החברה האנושית . כדי שרעיון זה יצליח כל פועל צריך להיות "פעלתן קומניסטי" הוא צריך לדעת לקבל מנהיגות של אחרים ולספק את מנהיגותו בעת הצורך . ניתן להגיע לקומוניזם רק על ידי מאבק המוני של פועלים , חיילים , סטודנטים ואחרים למיגור שלטונו של המעמד הקפיטליסטי ( דיקטטורה בורגנית ) והחלפתו בשלטון המוני הפועלים (דיקטטורה פרולטרית) .

רעיונות אלה של הקומוניזם טרם באו לידי ביטוי ו/או יישום , לא עמדו למבחן ולכן לא ניתן לקבוע - " הקומוניזם נכשל " . מה שנכשל זו השיטה הקפיטליסטית הבירוקרטית שהתפתחה בברית המועצות , במזרח אירופה ולאחר מכן בסין העממית , משלהי שנות החמישים ועד לקריסה הסופית בשנות התשעים של המאה הקודמת.

מתימטיקה היא חלק מחיינו . אם אנו סופרים עודף , קוראים מפת דרכים,מתקינים מדפים לספריה או מתכננים הפגנה אנו משתמשים

מאמר זה ידון בשתי נקודות חשובות . האחת , מתימטיקה היא מאד דיאלקטית . החוקים של המטריאליזם הדיאלקטי שזורים כחוט השני

בעולם המספרים , הצורות והנוסחאות . הבנת המתימטיקה תלויה בתפיסתנו את הדיאלקטיקה .

הנקודה השנייה במאמר זה תדון בעובדה שלרעיונות מתימטיים יש השלכה בעולם הממשי . עקרונות מתימטיים לא נפלו פתאום מן השמיים .

הם לא צצו בפתאומיות ממוחם של כמה גאונים . רעיונות מתימטיים צמחו מהצרכים המעשיים של האנושות ומן המאבק היום יומי בחיים הממשיים.

אנו עושים על האש בחצר ביתנו , אנו רוצים לדעת כמה נקניקיות יש לצלות עבור הילדים , אנו שואלים " מי רוצה נקניקיה ? " ידיים מורמות .

לאחד הילדים שרוצה נקניקיה יש שיער בלונדיני והוא לובש חולצת טי של ספיידרמן , לאחר יש שיער שחור והוא חובש כובע של קבוצת בייסבול ,

לילד האחרון שמרים את ידו , יש שיער חום והוא לובש בגד ים אדום . טוב , אנו אומרים לעצמנו : שלושה ילדים = שלוש נקניקיות.

כבר כאן השתמשנו במטריאליזם דיאלקטי . יישמנו את הרעיון של דמיון ושוני . עלינו לזכור , ילדים אלה שונים זה מזה . לאחד שיער בלונדיני ,

לשני שחור ולשלישי חום. האחד לובש חולצת טי השני חובש כובע של קבוצת בייסבול והשלישי לובש בגד ים . התעלמנו מן ההבדלים ,

התרכזנו בתופעה המשותפת – הם היו רעבים ורצו נקניקיה . כאשר ספרנו : "אחד , שניים , שלושה " התעלמנו למעשה מצבע השיער שלהם

ומבגדיהם , התרכזנו בעובדה שהם רצו לאכול , התרכזנו בתאבונם .

קטגורית מפתח : החומרי( CONCRETE) והמופשט ( ABSTRACT)

יישמנו את המושג השוכן בליבה של המתימטיקה : חומרי ומופשט .

" חומרי " ו – " מופשט " הם רעיונות פילוסופיים ומשמשים כאחת מהקטגוריות של המטריאליזם הדיאלקטי .

המילה CONCRETE באה מהשפה הלטינית ופירושה " לגדול ביחד " . אם אנו מדברים על הטבע הקונקרטי של משהוא אנו מתכוונים

לכל ההיבטים הייחודיים של דבר זה הנלקחים ביחד . ( אם נסתכל על CONCRETE - מלט בלועזית הוא (המלט) נוצר כאשר כל החלקיקים

המינרלים מתכנסים יחדו ומתקשים לחומר שבו ניתן להשתמש כדי לבנות קיר של מרתף). כאשר אנו אומרים שלילד הראשון היה שיער בלונדיני

והוא לבש חולצת טי של ספיידרמן , אילו הם חלק מתכונותיו החומרית.

רבים מאיתנו חונכו לחשוב שהמופשט הוא סופר מסובך, או להאמין שיכולת ההפשטה היא נחלתם של מעטים מאיתנו עם "מוח גאוני" ורק בעלי

תואר דוקטור יכולים לה. לא דובים ולא יער . כל אחד מאיתנו משתמש ברעיונות מופשטים , מי יותר ומי פחות . המופשט – ABSTRACT ,

בא מלטינית ומשמעותו "להתרחק " DRAW AWAY" " . כאשר אנו מתעסקים עם נושא מתחום המופשט , במוחנו אנו מתרחקים ( מתעלמים )

מכמה מן ההיבטים החומריים שלו ."המופשט" אין משמעותו "לא ממשי" . הטבע המופשט של חפץ , או תהליך , הוא ממשי כמו הטבע החומרי

שלו . ההפשטה של " ילד רוצה נקניקיה " היא ממשית כמו הבגדים או צבע השיער של כל ילד . יתרה מכך , ישנם הרבה היבטים מופשטים

לכל דבר ממש כשם שיש הרבה היבטים חומריים . למשל אם נסתכל מסביב בחצר האחורית בה נערך הפיקניק , יש סיכוי שנראה אנשים , מספר

חתולים וכמה כלבים .אם שכחנו מה ההבדל בין אנשים , לחתולים ולכלבים ,נוכל להתמקד בתכונה המשותפת שכולם בעלי חיים וכך היבט מופשט נוסף

לילדים הרעבים ,הוא שהם כולם יצורים חיים . עוד היבט מופשט היא העובדה שהילדים הרעבים הולכים זקוף על שניים בעוד הכלבים והחתולים

כאשר אנו סופרים שלושה ילדים רעבים , אנו מתעלמים מתכונותיהם החומריות , צבע השיער ובגדיהם. בתוך מוחנו , יצרנו מושג מופשט –

" ילד רוצה נקניקיה " מאחר ואחד "ילד רוצה נקניקיה " הוא בדיוק כמו "ילד רוצה נקניקיה " אחר אנו פשוט סופרים אותם. העובדה שצבע

השיער או הבגדים של הילדים שונים אינה מדאיגה אותנו . ספירה , אם כן, מכילה את יכולת ההפשטה.

הפיקניק הולך ומסתבך , ילדים נוספים מגיעים בריצה . אנו חוזרים על אותה שגרה, מתעלמים מחולצות הטי הצבעוניות ומצבע שערם וסופרים

אותם , אנו סופרים שני ילדים נוספים , כלומר שלושה קודם ועכשיו שניים חדשים . אנו חושבים 5 = 2+3 . חמש נקניקיות סך הכול .

זה עתה עלינו מדרגה לרמה גבוהה יותר של הפשטה. המספרים 2 ו – 3 אינם קשורים יותר ל – "ילד רוצה נקניקיה " . הפרדנו את 2 ו – 3

לחלוטין. בצענו פעולה שכלית על זוג מספרים מופשטים לחלוטין , עשינו חשבון . עתה אנו יכולים להמשיך עם הפיקניק עם הביטחון שאנו

יודעים בדיוק כמה נקניקיות עלינו להניח על האש (לפחות עד אשר ילד נוסף יגיע או ילד שירצה תוספת).

נעזוב לרגע את הפיקניק ונלך אחורה בזמן כמה אלפי שנים . אם נתבונן בהיסטוריה הקדומה של האנושות , נוכל לראות את ,ההתפתחות

על פני הזמן , של אותה חשיבה שזה עתה השתמשנו בה בפיקיניק .

לקח לאנושות הרבה זמן ללמוד לספור , לקח לה אפילו יותר זמן לתפוס את מושג המספר . לאדם הקדמון לא היה מושג מהו מספר , היה לו

כושר שיפוט באשר למידות של אוסף כלשהוא . הוא יכול היה , למשל , לומר בוודאות שיש יותר בולי עצים בערימה של 20 בולי עץ

מאשר בערימה של 5 בולי עץ . האדם הקדמון לא ראה שמספר בולי העץ היא תכונה שלא ניתן להפרידה מתכונותיו של בול העץ . תכונה זו, על

כל פנים,לא הייתה ברורה לו במושגים של מספרים מוחלטים (5 ו-20) .

אנגלס על המתימטיקה והעולם הממשי

" אין זה נכון לחלוטין שבמתימטיקה המוח עוסק רק ביצירותיו הדמיוניות . המושגים של מספר וצורה נגזרו אך ורק מן העולם הממשי . עשרת האצבעות שעליהן למד האדם לספור , כלומר לבצע את פעולות החשבון הראשונות , אינן פרי דמיונו של המוח . פעולת הספירה דורשת לא רק שיהיו חפצים שאותם יש לספור אלא גם את היכולת להפשיט (להתעלם) מתכונותיהם פרט למספרם – יכולת זו הנה תוצאה של התפתחות היסטורית המבוססת על ניסיון מצטבר .

כמו מושג המספר כך גם מושג הצורה (FORM) הוא נגזר של העולם החיצוני ואינו תוצר של חשיבה טהורה של המוח . היו חפצים בעלי תכונות פיסיות ונערכה השוואה בין התכונות הללו לפני שהגענו למושג צורה.

מתימטיקה טהורה מטפלת בצורות וביחסים כמותיים של העולם הממשי – כלומר , בחומר שהוא מאוד ממשי . העובדה שחומר זה מופיע בצורה מופשטת יכולה רק , באופן מלאכותי להסתיר את העובדה שמקורו בעולם החיצוני . אבל , על מנת להיות מסוגלים לחקור צורות ויחסים אילו , אנו חייבים להפריד אותם לחלוטין מתוכנם , לשים את התוכן בצד כחסר חשיבות . כתוצאה אנו מקבלים נקודות חסרות מידה , קווים ללא רוחב או עובי , A ו – B , X ו – Y , קבועים ומשתנים ורק לבסוף אנו מגיעים לראשונה , לחופש היצירה הדמיונית של המוח – לעוצמה הדמיונית .

אפילו הסקת מסקנות מתימטיות ברורות האחת מן השנייה אינה מוכיחה את מוצאם המקורי אלא רק את הקשר ההדדי ביניהן . בטרם הגיעו למסקנה שניתן ליצור גליל על ידי סיבוב מלבן סביב אחד מצלעותיו בחנו הרבה מאוד מלבנים וגלילים שצורתם לא הייתה מושלמת . כמו בענפים אחרים של המדע , המתימטיקה נוצרה מצרכיו של האדם כגון – מידות אדמתו , תכולת ספינותיו , חישובי זמן ומן המכניקה .

אבל, כמו בכל סוג של חשיבה ,בשלב מסוים של ההתפתחות , החוקים שנגזרו מן העולם הממשי הופכים להיות מנותקים ממנו ומוצגים כמשהו בלתי תלוי , כחוקים שבאו מחוץ לעולם הממשי ואשר העולם הממשי צריך להתיישר לפיהם . כך קרו דברים בהתפתחות החברה האנושית והמדינה וכך גם למתימטיקה הטהורה שיושמה בעולם הממשי , למרות שהמתימטיקה מוצאה מאותו עולם ממשי שבו היא מייצגת רק חלק אחד מן הצורות ויחסן ההדדי -- מסיבה זו ואך ורק מסיבה זו ניתן ליישם אותה בכלל במציאות ".

F. Engels – Anti Duhring ,Part I , Section III

בשלב הבא של התפתחות האנושות , מופיע המספר כתכונה , שלא ניתן להפרידה , של אוסף עצמים . למספר אין עדיין ייחודיות משלו ואינו

לדוגמה , השתמשו במילה " יד " עבור המספר 5 או "אדם שלם " עבור 20 . המספרים 5 ו – 20 לא הובנו כמספרים מופשטים בנפרד מאצבעות

הקדמונים ראו צורך בהשוואת אוספים של עצמים . אפילו ללא שימוש במספרים הם יכלו להשוות עצמים של שני אוספים כדי לקבוע מי

גדול יותר , בצורה זו נערכה השוואה בין ערימות של בולי עץ לשריפה , עדרי בקר ועוד . השוואות אלה היו תוצאה של פעילות יום יומית

שמטרתן לספק מזון ומחסה . במשך דורות בני אדם חזרו על אותן פעולות מיליוני פעמים , לבסוף , במהלך השוואות אלה נוצר המושג של

"מספר מופשט" . המספר המופשט היה תכונה ש "הופשטה" (הופרדה) מהאוסף הממשי של בולי עץ או עדרי בקר . אין יותר 5 בולי עץ או

מספרים מופשטים נוצרו אפוא מעבודה פיסית ( כריתת בולי עץ , עבודה עם בעלי חיים במרעה וכו..) ומעבודה שכלית ( השוואה בין אוספים

של עצמים ) שבוצעה על ידי בני אדם אמיתיים על פני אלפי שנים . מספרים מופשטים לא היו רעיון שנרקם במוחו של קוסם כתוצאה

את ההגדרה שתופיע כאן ניתן למצוא בכל ספר מתימטיקה המכבד את עצמו . אנו נראה כיצד הגדרה זו משקפת את פרי עבודתם הפיסית

והשכלית של הקדמונים במאבקם היום יומי עם חפצים שונים .

" מספר " הנו תכונה של אוסף של עצמים , היא משותפת לכל האוספים שחפציהם מתייחסים אחד לשני על בסיס של אחד

לאחד . תכונה זו שונה עבור אותם אוספים שהיחס הנ"ל אינו אפשרי " .

ראינו שמספרים מופשטים הם תולדה של השוואת אוספי עצמים , פעולה שחזרה על עצמה מידי יום ביומו לאורך תקופה ארוכה . הקדמונים

לא ערכו רק השוואות אלא גם קישרו בין האוספים בדרכים שונות . נניח שבערימה אחת היו 5 בולי עץ ובאחרת 7 בולי עץ , אם שתי

הערימות הונחו יחד לערימה אחת , יהיו בה עתה 12 בולי עץ . כתוצאה מפעולה חוזרת עם אוספים שונים ( כמו זו של בולי העץ ) הקדמונים

גילו פעולות עם מספרים . חיבור מספרים מתקשר לאיחוד של שני אוספים , או יותר , של עצמים דומים . הכפל נוצר כנראה מספירה של

אוספים שווים בזוגות , שלשות וכו ... בדרך דומה נוצרו גם פעולות החיסור והחילוק כלומר , ממניפולציות יום יומיות עם אוספים

תוך כדי תהליך הספירה , הקדמונים לא רק שהבינו את היחסים בין המספרים הבודדים ( לדוגמה 5 , 7 , ו – 12 ) אלא גם קבעו חוקים כלליים .

הם הבינו, למשל , מניסיונם היום יומי שתוצאות של חיבור אינן תלויות בסדר שבו הם מחברים את המספרים ואין זה משנה אם מוסיפים 5 בולי

עץ לערימה של 7 בולי עץ או 7 בולי עץ לערימה של 5 בולי עץ , בשני המקרים נקבל ערימה סופית עם 12 בולי עץ . בתקופות יותר מאוחרות

מתימטיקאים גילו הרבה חוקים כלליים אודות המספרים שהוו את הבסיס לעקרונות של " תורת המספרים ") .

אנו רואים אפוא , התוכן של החשבון הנו היחסים שבין המספרים אבל יחסים אלה הנם דמות מופשטת של היחסים שבין אוספים של עצמים .

האריתמיטיקה (חשבון) אינה המצאה של מחשבה טהורה של המוח האנושי ( כפי שאינטלקטואלים מציגים את הנושא ) אלא השתקפות

תכונות מסוימות של אובייקטים אמיתיים . החשבון - אריתמטיקה , הוא תוצאה מעשית של ניסיון שנצבר במשך דורות רבים .

הקדמונים ראו צורך בהעברת מספר החפצים באוסף לאחרים , זה הוביל אותם , כפי שראינו , למושג המספר ולשמות המספרים . עם

התפתחות החברה האנושית החיים נעשו מורכבים יותר ונוצר הצורך לספור כמות גדולה יותר של עצמים : מספר הפרות בעדר , מספר

הסחורות בסחר החליפין וגם הצורך להעביר תוצאות הספירה לאחרים . המצב דרש שיפור שמות המספרים והסמלים שלהם.

הצגת סמלים במקום מספרים החלה עם תחילתה של הכתיבה . יותר מאוחר פותחו גם סמלים עבור פעולות בין מספרים כמו " + " עבור חיבור .

סמלים אלה עבור מספרים ופעולות החשבון מילאו תפקיד מכריע בהתפתחות החשבון , כל אחד מאיתנו מעדיף לחשב על הניר או

באמצעות מחשבון מאשר לחשב " בראשו" . סמלים ( סימנים ) מתימטיים מאפשרים לנו להחליף פעולות שכליות בחישובים . חישובים

אלה נכתבים על דף וכך הכול נראה לעין וניתן לבדיקה . על החישובים ניתן לשלוט באמצעות חוקים מדויקים . כך למשל , אם מחברים טור

של מספרים " חבר קודם את ספרת היחידות של המספרים לאחר מכן את ספרת העשרות וכך הלאה.."

לנין על חשיבות ההפשטה בהבנת העולם

מחשבה המתקדמת מן החומר אל המופשט , במידה והיא נכונה....אינה מתרחקת מן האמת אלא מתקרבת אליה . ההפשטה של חומר , של חוק טבע , של ערך ...ובקיצור כל ההפשטות המדעיות (נכונות , רציניות ולא גובלות באבסורד) משקפות את הטבע בצורה עמוקה, אמיתית ושלימה . מתפיסת החיים לחשיבה מופשטת ומשם לעשייה ( PRACTICE ) – זה המסלול הדיאלקטי של ההכרה ב"אמת", ההכרה ב"מציאות" אובייקטיבית .

Lenin , Philosophical notebooks , p.182

התפתחות הסימנים יצרה אפשרות לטפל במספרים גדולים . כאשר מישהו אומר לנו "שבע " אנו לא חושבים על אוסף של שבעה חפצים , במקום

זה אנו חושבים על הסמל " 7 " . הסמל " 7 " יוצר מסגרת עבור המספר המופשט " שבע " . כאשר מדובר במספר גדול 18759 אנו לא יכולים

אפילו לדמיין במוחנו אוסף עם מספר זה של חפצים . כדי להבין מספר כה גדול אנו צריכים סמל כתוב , כלומר , "18759". וכך המצאת

הסמלים סללה את הדרך לגילוי מספרים . לא ניתן היה להגיע לתגלית זו על ידי פעולת הספירה או על ידי תצפית . יתרה מכך , פעולות

במספרים היו נחוצות בחברות קדומות כדי לאסוף מיסים או כדי לבנות ולתחזק צבאות .

מדוע חשבון מסייע לנו בחנות המכולת , במפעל ייצור , במסלול האתלטיקה וכו..?

ההיסטוריה שסקרנו מספקת לנו את התשובה . העקרונות והמסקנות של החשבון הם פרי תהליך של אלפי שנות ניסיון . רעיונות אלה משקפים

, בצורה מופשטת , את היחסים בעולם הממשי בהם נתקלים בני אדם מידי יום , כל הזמן . ילד יכול לספור צעצועים , מספר האנשים בחדר

או כוכבים בשמיים . המספר - הוא תכונה כללית חשובה של כל האובייקטים הללו , בנפרד (במופשט) מכל תכונה ממשית וייחודית אחרת .

בדיוק בגלל שהחשבון מתחשב אך ורק בתכונות הכלליות , מסקנותיו ניתנות ליישום בכל כך הרבה מצבים בחיי היום יום .

עצם המופשטות של החשבון מבטיחה שימוש ויישום בהרבה שטחים , אבל עלינו לזכור : הפשטה זו אינה ריקה מתוכן . היא אינה תופעה מיסטית.

ההפשטה היא תוצאה של ניסיון מעשי ארוך של אבותינו לדורותיהם , בשר ודם כמונו .

גיאומטריה ( המתימטיקה של הצורות ) גם היא תוצאה של ניסיון וצרכים מעשיים של האנושות לדורותיה .

הקדמונים לקחו צורות גיאומטריות מן הטבע . הם הכירו את המעגל וה"בננה" של הירח , המשטח החלק של אגם ואת הקו הישר של קרן אור .

אבל הטבע הציג לקדמונים , לעיתים קרובות , קווים ישרים של ממש או משולשים וריבועים מדויקים . הסיבה לכך , בחיי היום יומיים הם

ייצרו חפצים בעלי צורה מוכרת.הם בנו בתים,קבעו גבולות של חלקות אדמה,מתחו מיתרים של קשתות ועיצבו כלים מחימר.הם עבדו וליטשו צורות

אלה מידי יום עד שפיתחו את הרעיון שקערה עקומה בעוד מיתר של קשת הוא ישר .

במילים אחרות , בני אדם קבעו צורה לחפציהם החומריים . הם תפסו את מושג הצורה כתופעה הקשורה לחומר ( עץ , חימר , אדמה . אבן וכו..)

הם לא חשבו על "צורה " (FORM) כמושג העומד בפני עצמו , כמופשט (מופרד) מן החומר . הקדמונים , נאלצו לייצר אלפי חפצים בעלי קצוות

ישרים לפני שיכלו לגבש רעיון ברור על מושג הישר , הקו הישר היה התכונה המשותפת לכל הצורות הללו . לפיכך פעילות מעשית הייתה הבסיס

לעקרונות המופשטים של הגיאומטריה – כמו הקו הישר .

(בעידן הנוכחי , כמובן , הפעוט לומד מוקדם מאוד בחייו לצייר קו ישר בשל העובדה שהוא מוקף מכל עבריו במוצרים בעליי קווים ישרים שניקנו בחנות ).

סופי ואין סופי : או מדוע התרנגולת אינה יכולה לחצות את הכביש

ישנה תרנגולת המתחילה לחצות את הכביש.(אל תשאל אותנו, "מדוע ?" זו הבעיה של התרנגולת.) לפני שהיא חוצה את כל הכביש עליה לעבור את מחציתו . עכשיו נותר לה לעבור את המחצית השנייה . אבל לפני שתוכל לעבור את המחצית השנייה עליה לעבור את חצי המחצית השנייה , או רבע מכל הכביש וכך נותר לה עוד רבע אבל לפני שתוכל לעבור את הרבע שנותר, עליה לעבור את מחציתו של הרבע כלומר שמינית מן הכביש ועתה נותרה לה עוד שמינית כדי לחצות את הכביש במלואו . תהליך זה נמשך לנצח ( אינסוף ) ונראה לנו שהתרנגולת המסכנה לעולם לא תגיע לחוף מבטחים בעברו השני של הכביש .

אז מה לא בסדר בסיפור זה ? אנו יודעים שבחיים האמיתיים התרנגולת כן חוצה את הכביש בהצלחה ואפילו עושה זאת מידי יום ביומו . מה שיש לנו כן זה כישלון לראות את הסתירה בין הסופי לאינסופי .

עיקבו אחר התרנגולת

בואו נסתכל על מסעה של התרנגולת באופן מתימטי . קודם מחצית מן הדרך , לאחר מכן רבע , ואז שמינית וכל הלאה . ניתן להציג תופעה זו כסכום של סדרת שברים : ....+ 1/16 + 1/8 + 1/4 + 1/2 ( ..... פירושו שהסדרה נמשכת כך ללא הפסקה ) . זו הי דוגמה למה שנקרא במתימטיקה סידרה אינסופית . השגיאה טמונה במחשבה ( הלא דיאלקטית ) שסכום של סדרה אינסופית חייב להיות גודל אינסופי . כלומר אם נחבר את המספרים בסדרה שלפנינו עלינו לקבל מספר אינסופי גדול מאוד . משמעות הדבר שהתרנגולת לעולם לא תגיע לעברו השני של הכביש ותמשיך לצעוד לנצח ( אם השמש לא תהפוך אותה לתרנגולת צלויה או אם מכונית לא תפגע בה בדרך .)

עובדה , המתימטיקה הצליחה להוכיח שסכום הסדרה האינסופית שלפנינו

.....1/32 +1/16 +1/8 +1/4 +1/2 הוא 1 , לא אינסוף , ולכן סכום הסדרה הוא המספר הסופי 1 . התרנגולת שלנו אינה צריכה לחצות אינסוף כבישים אלא כביש אחד ולכן תצליח במשימתה .

במתימטיקה ובכל מציאות חומרית קיים קשר פנימי בין הסופי והאינסופי . קחו למשל את החיים הסופיים . נולדים ,גדלים , מזדקנים ולבסוף מתים . לאחר המוות החומר מתנוון ונעלם , בעשותו כך הוא הופך לבקטריה שהיא חלק מהתפתחות צמחים וחיים אחרים . כך , הסופי שנעלם אינו נעלם , אלא הופך לסופי אחר . תהליך זה נמשך לנצח וכך אנו עדים לאינסופיות של הסופיות .

סיפור התרנגולת שלנו והצגתו המתימטית אינו אלא דוגמה אחת מיני רבות של הסתירה הבסיסית הזו בין הסופי לאינסופי .

בדרך דומה , רעיונות הנוגעים לכמויות גיאומטריות – אורך , שטח , נפח – צמחו מפעילות ממשית . בני אדם מדדו מרחקים והעריכו שטחים

על פי העין . פעילויות אלה הוו חלק חשוב בחקלאות ובנין . במהלך פעילויות לה התגלו חוקים בסיסים כלליים . למשל שטחו של מלבן

הוא מכפלת אורכו ברוחבו . לא קשה לראות כמה חשוב היה ממצא זה לאיכר שרצה לחשב את שטח החלקה ששתל בה כדי להעריך את

לפיכך , גיאומטריה צמחה מצרכים מעשיים של האנושות . המצרים הקדמונים גילו את הגיאומטרית כתוצאה ממדידת אדמה . מדידה הייתה

צורך כי הנילוס הציף מידי שנה את חלקותיהם ושטף את גבולותיהן . ( למעשה , המילה " גיאומטריה " מקורה במילים היווניות " מדידת אדמה ". )

טקסט מצרי משנת 1700 לפי הספירה מכיל אוסף בעיות בחישוב יכולת התכולה של מיכלים ומחסנים , שטחים של חלקות אדמה ועוד כהנה וכהנה.

למצרים ולבבלים הייתה היכולת לקבוע מידות שטח ונפח של צורות פשוטות והם ידעו בערך את היחס שבין היקפו של מעגל לשטחו

בתחילתה , הייתה הגיאומטריה כמו החשבון , אוסף של חוקים בסיסיים שמקורם בניסיון מעשי . עם מעבר הגיאומטריה ממצריים ליוון העתיקה

נאספו עובדות חדשות . יותר מאוחר התגלו הקשרים הפנימיים בין עובדות אלה . קשרים אלה הפכו בהדרגה לטענות גיאומטריות שניתן היה

להסיקן באופן הגיוני מטענות אחרות . כך נולד הרעיון של המושג "משפט " ( THEORUM ) גיאומטרי והוכחתו. יתרה מכך , נולד מושג

ה"אכסיומה" , אוסף של טענות המשמשות כבסיס להסקת טענות אחרות . בדרך זו , הפכה הגיאומטרי בהדרגה לתיאוריה מתימטית .

כפי שערכנו דיון בהגדרת המושג "מספר" נוכל להגדיר עתה את המושג "גוף גיאומטרי ".

גוף גיאומטרי אינו אלא גוף מעשי שמתייחסים אליו אך ורק לפי צורתו לאחר שמפשיטים אותו מכל תכונותיו החומריות האחרות כגון : החומר

לשימוש הנרחב בגיאומטריה יש אותו מקור כמו לחשבון : עקרונות גיאומטריים הם מסקנות מהעולם סביבנו . בני אדם נזקקו להרבה מאוד

קווים ישרים לפני שהגיעו לאכסיומה שבין שתי נקודות ניתן למתוח קו ישר . זהו עיקרון כללי לחלוטין וניתן ליישמו על שתי נקודות על נייר ,

בין שני עמודי חשמל או טלפון בין שתי עמודים בשדה פתוח וכך הלאה . בדרך דומה ,בני אדם עבדו עם הרבה גופים כדוריים לפני שהגיעו

למסקנה שניפחו של כדור הוא 4/3IIR³ ( כאשר II הוא היחס בין הקף הכדור לקוטרו , R – המרחק בין מרכז הכדור לנקודה על פני הכדור ) .

נוסחה זו תקפה לכל סוג של כדור – כדורגל , כדור בייסבול , כדור קריסטל או טיפה של נוזל .

לסיכום , הגיאומטריה , כמו החשבון , נוצרה מיחסי גומלין הדדיים בין הניסיון המעשי והחשיבה המופשטת . החשבון והגיאומטריה הם

אבני היסוד ההיסטוריים ושורשי העקרונות של כל המתימטיקה .

3 . הקשרים הפנימיים של החשבון והגיאומטריה : שברים

אם אנו רוצים למדוד את שטח רצפת המטבח לפני שאנו מצפים אותה בלינוליאום אנו יכולים לעשות זאת על ידי ספירת מספר הצעדים

לאורכו ורוחבו של המטבח. במעשה זה איחדנו את החשבון עם הגיאומטריה . כדי למדוד את אורכו של חפץ מסוים אנו מיישמים יחידת

אורך כלשהיא (אורכו של צעד) ומחשבים כמה פעמים ניתן לעשות זאת לאורכו של המטבח . הפעולה הראשונה ( היישום ) היא גיאומטרית

בעוד הפעולה השנייה ( החישוב ) היא אריתמטית . השתמשנו באורך הצעד שלנו למדידת אורך המטבח וחישבנו ( על ידי ספירה ) לכמה

צעדים נדרשנו כדי להגיע מצד אחד של המטבח לצידו האחר. מה קורה כאשר אנו מתקרבים לצידו האחר של המטבח ואין אנו יכולים

להשלים צעד מלא ? מה עושים ? מחלקים את הצעד לחלקים קטנים יותר כמו אורך הנעל ( כמה פעמים אורך הנעל נכנס בצעד מלא ) וכך

ניתן להביע את אורך המטבח בצורה מדויקת יותר. אנו משתמשים בחלקים של צעד . כך למשל נוכל לומר שאורך המטבח הוא שנים עשר

וחצי צעדים . אנו משתמשים עכשיו בשברים ובמספרים שלמים .

מוצא השברים בהיסטוריה הוא מן המדידה . בני אדם מדדו אורך (של בד למשל), שטח (של אדמה) ונפחים (של נוזלים) . הקדמונים גילו את

השברים , דרך אינספור מדידות הקשורות ליישומים גיאומטריים וחישובים אריתמטיים – מדידות בדיוק כמו מדידת אורכו של המטבח שזה עתה

ביצענו . פעילות מעשית הקשורה להתפתחויות קודמות בחשבון וגיאומטריה הובילה לרעיון חדש : השברים .

לקטגוריה דיאלקטית נוספת יש חשיבות רבה במתימטיקה . היא שופכת אור על הקשרים הפנימיים שבין החשבון והגיאומטריה . זוהי הקטגוריה

הבדיחה הבאה תדגים קטגוריה זו . איך לחלק לחלקים שווים שלושה ביצים לשני ילדים ? התשובה פשוטה , עושים חביתה משלושה ביצים

חפצים בדידים אינם ניתנים לחלוקה לפי ההיגיון שכאשר מחלקים אותם הם מפסיקים להיות מה שהיו לפני החלוקה .אין זה הגיוני למשל

לדבר על שליש או חצי ביצה . (אם חותכים יצור חי לשניים הוא מפסיק להיות יצור חי) . מאידך גיסא ניתן לפצל אובייקטים רציפים

ולהרכיבם מחדש מבלי לפגוע בתכונותיהם הבסיסיות . לפיכך , לא ניתן לחלק ביצה בודדת לחלקים אבל ניתן לחלק חביתה לחלקים מבלי

האחדות ( THE UNITY ) והמחלוקת ( CONFLICT ) של הבדיד והרציף

הבדיד והרציף תמיד מאוחדים . ניתן להבין זאת בשתי דרכים :

1. אין אובייקט שאינו ניתן לחלוקה באופן מוחלט . הפיסיקאים סברו שהאלקטרון ( אחד מהחלקיקים של האטום ) הנו חלקיק בסיסי ,

אובייקט בדיד שלא ניתן לחלקו לחלקיקים קטנים יותר באופן מוחלט . עכשיו הפיסיקאים גילו חלקיקים קטנים יותר שמהם מורכב האלקטרון .

2. אין אובייקטים שהם רציפים לחלוטין . אם ניקח כף מלאה בחביתה ונתחיל לחלק אותה לחלקים קטנים יותר ונחזור על התהליך אינספור

פעמים . בסופו של התהליך נגיע למצב שיהיה לפנינו חלקיק קטן מאוד של חומר ( מולקולה למשל ) שאין לו את התכונות של החביתה .

במילים אחרות , לכל מציאות חומרית יש היבטים של חומר בדיד וחומר רציף .

במתימטיקה , ההשתקפות המופשטת של הבדיד הנה המספר השלם . בדרך דומה הרציף בא לידי ביטוי בצורות גיאומטריות (הקו הישר למשל ) .

מדידת אורכו של המטבח היא איחוד של הבדיד והרציף . האורך ( הרציף ) נימדד על ידי ( הבדיד ) יחידות ( של צעדים ) . כפי שראינו לעיל

היחידות הבדידות עשויות להתחלק לשברים ( וזה ניתן לביצוע אם ליחידה הבדידה יש תכונות של רציף ).

הפשטה ברמה גבוהה יותר או מתימטיקה "מעולם אחר"

עד עתה ראינו במאמר זה שהאנושות עשתה הכללה והפשטה של אובייקטים מחיי היום יום , כדי להגיע לעקרונות הבסיסיים של החשבון

והגיאומטריה . המתימטיקאים הלכו רחוק יותר עם תהליך הפשטה זה עד כדי " הפשטה של המופשט " . כלומר , הם גילו עקרונות

מתימטיים חדשים לא רק מהמציאות של החיים אלא מעקרונות מתימטיים קודמים .

כולנו מכירים את המספרים השליליים . למשל טמפרטורה של 5- מעלות "מתחת לאפס " ( פירושה קר מאוד ) . כאן ניתן לראות קשר למדידת

מה אם כן השורש הריבועי של מספר שלילי ? נזכור שהשורש הריבועי של מספר הוא מספר שאם נכפול אותו בעצמו נקבל את המספר המקורי .

למשל השורש הריבועי של 9 הוא 3 כי כפל של 3 ב - 3 הוא 9 . מה אם כן השורש הריבועי של המספר 1- ? זה צריך להיות מספר שכאשר נכפילו

מספרים "מדומים" ( IMAGINARY ) חושפים היבטים חדשים של המציאות

אם אתה מגרד את ראשך בשלב זה אתה בחברה טובה . מתימטיקאים , במובן מסוים היו צריכים " להמציא " את התשובה לשאלה האחרונה .

השורש הריבועי של המספר 1- היה חייב להיות קיים והמתימטיקאים קראו לו " imaginary number " i

כלומר מכפלת i ב - i היא המספר 1- . מספרים שהתבססו על מספר זה מהווים את קבוצת המספרים ה " מדומים " . שטח זה הפך להיות

נוכל לטעון כי אין לכך שום דבר הקשור למציאות ובדרך מסוימת יש צדק בטענה זו. מספרים מדומים אלה אינם משקפים מציאות כמו

שהמספרים השלמים למשל . מספרים מדומים אלה הם פרי פיתוח של עקרונות מתימטיים קודמים - דרך ההיגיון - ולא כתוצאה של

בכל זאת , לאחר עבודה שכלית טהורה עם מספרים מדומים , מחקרים מדעיים גילו שלמספרים המדומים יש חשיבות מרחיקת לכת בהסבר

תופעות כמו זרם חילופין בחשמל וזרימה של נוזלים למשל . כלומר , למספרים המדומים יש קשר ישיר למציאות , לא במובן הפשוט

כמו המספרים הטבעיים ( שלמים וחיוביים ) . זה לא שהמספרים המדומים אינם אמיתיים , אלא , הם מגלים היבטים חדשים של מציאות

שאינה גלויה לאוזניים , לעיניים ולידיים . העבודה השכלית של ההפשטה מאפשרת לנו הסתכלות פנימית לתוך טבעו של העולם בו אנו חיים .

אותו תהליך עברה הגיאומטריה . אוקלידס , המתימטיקאי של יוון העתיקה הניח רבים מן היסודות של הגיאומטריה המוכרת לכולנו מבית

הספר התיכון . אחד מטענותיו החשובות הייתה , שדרך נקודה הנמצאת מחוץ לקו ישר ניתן להעביר רק ישר אחד המקביל לישר המקורי .

לאורך ההיסטוריה , מתימטיקאים התקשו להוכיח טענה זו ( קל להוכיח שניתן להעביר ישר מקביל דרך הנקודה אבל קשה יותר להוכיח

מתימטיקאי בשם לובצ'בסקי ( LOBACHEVSKY ) מהמאה ה-19 " דימה " גיאומטריה שבה ניתן להעביר לפחות שני קווים מקבילים לישר

דרך נקודה מחוץ לישר . זה עמד בסתירה ל " היגיון הפשוט " ( COMMON SENSE) האומר לנו שרק ישר אחד אפשרי . לובצ'בסקי קרא

מתימטיקאי אחר מהמאה ה-19 , רימן ( REIMANN ) פיתח את המושג של מרחב רב מימדי , ללא ספק " מדומה " מאחר ואנו רואים את

הגיאומטריות המדומות הניחו את הבסיס לעיקרון של מרחב ש "אינו אוקלידי " ( NON EUCLIDEAN ) . לעיקרון זה היו יישומים חשובים

במדע . הוא שימש כמסגרת מתימטית לתורת היחסות הכללית ולחלק מעבודותיו של אלברט איינשטיין . הרעיונות הגיאומטריים צמחו

מן ההיגיון אבל הם משקפים את ההיבטים של העולם הממשי . התיאוריות הללו של מתימטיקה " מעולם אחר " אפשרו לפיסיקאים

להגיע להנחות נכונות על העולם . תיאוריות אלה אפשרו לאנושות את היכולת לשנות את העולם בדרכים חדשות . כפי שהפיסיקה הושפעה

על ידי מתימטיקה חדשה זו , הפיסיקה החדשה הביאה להתפתחות נוספת בתחום המתימטיקה .

המתימטיקה צמחה והתפתחה כתוצאה ממאבק האנושות בעולם החומרי . מאחר והעולם החומרי פועל על בסיס דיאלקטי , אין זה מפתיע

שהמתימטיקה היא מקור שופע של רעיונות דיאלקטיים . בו בזמן ככל שאנו מבינים יותר את עקרונות הכלליים של המטריאליזם הדיאלקטי

אנו מצוידים ביכולת טובה יותר להבין מתימטיקה .

בעתיד , דיאלקטיקה תהיה חלק בסיסי של החינוך . ילדים ילמדו רעיונות דיאלקטיים כפי שהם לומדים לספור ולזהות צורות גיאומטריות .

אבל לא בימינו , לא תחת הקפיטליזם . בינתיים , המטריאליזם הדיאלקטי הוא נכון ושימושי , אבל רק בחברה שוויונית – קומוניסטית

ספר חשוב על דיאלקטיקה ומתימטיקה

הרבה מהתוכן של מאמר זה בא מהפרק הראשון של הספר :

Mathematics : Its Content , Methods , and Meaning ( MIT Press , 1984 )

הספר נכתב על ידי קבוצת מתימטיקאים סובייטים ויצא לאור בברית המועצות בשנת 1956 . הוא מכיל את התפתחות כל המתימטיקה מחשבון פשוט וגיאומטריה דרך אלגברה ואנליזה ( חשבון דיפרנציאלי ואינטגראלי ) ומסיים בתיאוריה המתימטית המודרנית . הוא גם נועד לקשר את הטבע והמתימטיקה לאנשים שאינם מתימטיקאים .

מה שמיוחד בעבודה זו היא גישתם של העורכים למתימטיקה מההיבט ההיסטורי

כאשר נקודת המוצא היא הגישה של המטריאליזם הדיאלקטי . ניתן ללמוד הרבה דיאלקטיקה מקריאת הספר ולבטח לא מעט מתימטיקה .

ישנו גם סיפור מעניין סביב הוצאת התרגום לאנגלית של ספר זה . פרקים 7-8 של הספר דנים באופן חזיתי בחשיבותו של המטריאליזם הדיאלקטי להבנת המתימטיקה . בנוסף לכך העורכים מצטטים מכתבי המנהיג הקומוניסטי של המאה ה-19 , פרידריך אנגלס . כאשר ה - American Mathematical Society פרסמה את התרגום לאנגלית הם " השמיטו " את הפרקים 8 – 7 , עם הערה קצרה . ללמדך על " חופש הדיבור " בקהילה המדעית של אמריקה .

כפי שניתן לתאר , פרקים אלה ( 8 – 7 ) הם בעלי ערך חשוב ביותר . ניתן למצוא אותם מתורגמים לאנגלית בז'ורנל Science and Nature ( No.3 , 1980 ) . מספר נקודות חשובות במאמר זה לקוחות מהפרקים ש"הושמטו" בתרגום .

ספר קריא נוסף עם גישה מטריאליסטית למקורות המתימטיקה הוא :

Mathematics for the Million,by Lancelot Hogben (New York: Norton&Co) בעברית : מתימטיקה למיליון , לאנסלוט הוגבן .,ספרית פועלים 1958,